Question

15．在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其中答对诗词名句与否的人数如图所示．
（Ⅰ）完成下面的2×2列联表；判断是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

	正确	错误	合计
20～30
30～40
合计

（Ⅱ）若计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，求3名选手中在20～30岁之间的人数的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出2×2列联表，再求出K²=3＞2.706，从而有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关．
（Ⅱ）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，20～30岁之间的人数是2人，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由已知得2×2列联表为：

	正确	错误	合计
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合计	20	100	120

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
=$\frac{120（70×10-30×10）}{20×100×40×80}$3＞2.706，
∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关．
（Ⅱ）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，
20～30岁之间的人数是2人，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

点评 本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学数列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．