Question

16．若{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是公比为2的等比数列，且a₁=1，则a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{9}}{9}$=1013．（用数字作答）

Answer 1

分析 推导出数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出（a₁+1）+（$\frac{{a}_{2}}{2}$+1）+（$\frac{{a}_{3}}{3}$+1）+…+（$\frac{{a}_{9}}{9}$+1）的值，进而能求出a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{9}}{9}$的值．

解答 解：∵{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是公比为2的等比数列，且a₁=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}+1=2$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴（a₁+1）+（$\frac{{a}_{2}}{2}$+1）+（$\frac{{a}_{3}}{3}$+1）+…+（$\frac{{a}_{9}}{9}$+1）=$\frac{2（1-{2}^{9}）}{1-2}$=2¹⁰-2=1022，
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{9}}{9}$=1022-9=1013．
故答案为：1013．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．