Question

4．已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且A点到l₁，l₂的距离分别为1，2，B是直线l₂上一动点，∠BAC=90°，AC与直线l₁交于点C，则△ABC面积的最小值为2．

Answer 1

分析 过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F，则AE=1，AF=2，设∠FAC=θ，则AC=$\frac{1}{cosθ}$，AB=$\frac{2}{sinθ}$，推导出△ABC面积为S=$\frac{2}{sin2θ}$，由此能求出△ABC面积的最小值．

解答 解：过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F，
则AE=1，AF=2，
设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=$\frac{1}{cosθ}$，
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=$\frac{2}{sinθ}$，
∴△ABC面积为S=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{cos}×\frac{2}{sinθ}$=$\frac{2}{sin2θ}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴当且仅当θ=$\frac{π}{2}$时，sin2θ=1达到最大值1，
此时△ABC面积有最小值2．
故答案为：2．

点评 本题考查三角形面积的最小值的求法，考查三角函数、二面角公式、三角形面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．