Question

14．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=$x+\frac{1}{x}$的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=xf（x）+ax，且g（x）在区间（0，4]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）图象上任意一点坐标为B（x，y），其关于A（0，1）的对称点B′（x′，y′），利用中点坐标公式得到$\left\{\begin{array}{l}{x′=-x}\\{y′=2-y}\end{array}\right.$，然后把B′（x′，y′）代入h（x）可得函数f（x）的解析式；
（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=xf（x）+ax，整理后利用二次函数的单调性列式求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）的图象与h（x）的图象关于点A（0，1）对称，
设f（x）图象上任意一点坐标为B（x，y），其关于A（0，1）的对称点B′（x′，y′），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x′+x}{2}=0}\\{\frac{y+y′}{2}=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=-x}\\{y′=2-y}\end{array}\right.$，
∵B′（x′，y′）在h（x）上，∴y′=x′+$\frac{1}{x′}$，
∴2-y=-x-$\frac{1}{x}$，得y=x+$\frac{1}{x}$+2，
即f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2；
（2）∵g（x）=xf（x）+ax=x²+（a+2）x+1，
且g（x）在（0，4]上为减函数，
∴$-\frac{a+2}{2}$≥4，解得a≤-10．
∴a的取值范围为（-∞，-10]．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了点关于点的对称点的求法，考查二次函数的单调性，是中档题．