Question

6．已知函数$f（x）=sin\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性求出f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{{\frac{2}{3}}}=3π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$3kπ-\frac{5π}{4}≤x≤3kπ+\frac{π}{4}$，
∴f（x）的单调递增区间为$[3kπ-\frac{5π}{4}，3kπ+\frac{π}{4}]$（k∈Z）．
（2）由（1）知f（x）在$（0，\frac{π}{4}]$上递增，在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上递减；
又$f（0）=f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}$，∴$f{（x）_{min}}=\sqrt{3}$，此时x的集合为$\{0，\frac{π}{2}\}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于基础题．