Question

15．已知函数f（x）=sin²（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，求得f（x）最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，结合单调性求得f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ） 由已知，函数f（x）=sin²（x-$\frac{π}{6}$）+cos²x-1
=$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$+$\frac{1+cos2x}{2}$-1=$\frac{1}{2}$[cos2x-cos（2x-$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
 令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ⇒\frac{2π}{3}+2kπ≤2x≤\frac{5π}{3}+2kπ⇒\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴函数的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，单调递增区间为$[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]（k∈Z）$．
（Ⅱ）因为f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，-\frac{π}{6}]$上是增函数，在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上是减函数，$f（-\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}，f（-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}，f（\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
所以f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上的最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于中档题．