Question

已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，若，．

（1）求；

（2）若数列{Mn}满足条件： ，当时，－，其中数列单调递增，且，．

①试找出一组，，使得；

②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．

Answer 1

（1）（2）①， ②详见解析

【解析】

试题分析：（1）求等差数列前n项和，一般利用待定系数法，即确定首项及公差，再代入公式即可：由，，得解得，所以（2）①题目要求找出一组，因此方法为逐一代入验证，若由得，则无整数解；若由得，则无整数解；若解得②从①可归纳，，，则，，，一般的取，下面只需验证使得数列中的各数均为一个整数的平方．由得＝－＝，为一整数平方．

试题解析：（1）设数列的首项为，公差为，

由，，得， 2分

解得，

所以 4分

（2）①因为，

若，，

因为，

所以，，此方程无整数解； 6分

若，，

因为，

所以，，此方程无整数解； 8分

若，，

因为，

所以，，解得，

所以，满足题意 10分

②由①知，，，则，，，

一般的取， 13分

此时，，

则＝－＝，

所以为一整数平方．

因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方． 16分

考点：等差数列与等比数列