Question

16．已知G是△ABC的重心，若直线PQ过点G，与AC，BC分别交于P，Q，设$\overrightarrow{CP}$=m$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CQ}$=n$\overrightarrow{CB}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{CQ}$表示出$\overrightarrow{CG}$，根据P，G，Q三点共线列出方程得出m，n的关系．

解答 解取AB中点D，连结CD，则$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
∵G是△ABC的重心，∴$\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$．
∵$\overrightarrow{CP}$=m$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CQ}$=n$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}=\frac{1}{m}\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}=\frac{1}{n}\overrightarrow{CQ}$，
∴$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3m}\overrightarrow{CP}$+$\frac{1}{3n}\overrightarrow{CQ}$．
∵P，G，Q三点共线，
∴$\frac{1}{3m}+\frac{1}{3n}=1$，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，平面向量的基本定理，属于中档题．