Question

19．过原点的直线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为$\frac{5}{4}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），则N（x₂，y₂）．利用k_PMk_PN=$\frac{5}{4}$，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．

解答 解：由双曲线的对称性知，可设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），则N（x₂，y₂）．
由k_PMk_PN=$\frac{5}{4}$，可得：$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{y_0}+{y_1}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{5}{4}$，即$y_0^2-y_1^2=\frac{5}{4}（x_0^2-x_1^2）$，即$\frac{5}{4}x_0^2-y_0^2=\frac{5}{4}x_1^2-y_1^2$，
又因为P（x₀，y₀），M（x₁，y₁）均在双曲线上，
所以$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$，$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$，所以${a^2}=\frac{4}{5}，{b^2}=1$，
所以c²=a²+b²=$\frac{9}{5}$，所以双曲线C的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力．