Question

已知正方形的面积是5cm²，图阴影部分是两个四分之一圆所围成的面积，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：先建系，构造曲线方程和直线方程，阴影部分的面积转化为=2

∫

5 0

[

5-x2

-（-x+

5

）]dx，再根据定积分的几何意义即可求出．

解答： 解：方法一：如图，以正方形的边长为x轴和y轴，
则圆的直线方程为x²+y²=5，
则曲线的方程为y=

5-x2

，0≤x≤

5

，
直线方程为y=-x+

5

，
所以阴影部分的面积为S=2

∫

5 0

[

5-x2

-（-x+

5

）]dx，
因为

∫

5 0

5-x2

dx表示是圆的面积的四分之一，故

∫

5 0

5-x2

dx=

1

4

×π×5，

∫

5 0

（-x+

5

）dx表示三角形的面积，即为正方形面积的一半，故

∫

5 0

（-x+

5

）dx=

5

2

，
故S=2

∫

5 0

[

5-x2

-（-x+

5

）]dx=2（

5π

4

-

5

2

）=

5π

2

-5，
所以阴影部分的面积为

5π

2

-5．
方法二，阴影部分的面积等于半圆的面积减去正方形的面积，故S=

1

2

π×5-5=

5π

2

-5．

点评：本题主要考查了的定积分的几何意义，属于基础题．