Question

已知⊙C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0与⊙C₂：x²+y²+2x-2mx+m²-3=0．求当m为何值时，两圆：
（1）外离；
（2）外切；
（3）相交．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）将圆C₁与圆C₂分别化成标准形式，可得它们的圆心坐标和半径长．如果C₁与C₂相离，则两圆的半径之和小于它们圆心间的距离，由此建立关于m的方程，解之即可得到m的范围；
（2）C₁与C₂外切，则两圆的半径之和等于它们圆心间的距离，由此建立关于m的方程，解之即可得到m的值
（3）若C₁与C₂相交，则两圆的圆心距小于大半径与小之差，小于半径和，由此建立关于m的不等式，即可解出m的取值范围．

解答： 解：∵圆C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0，∴将圆C₁化成标准方程，得
C₁：（x-m）²+（y+2）²=9，圆心为C₁（m，-2），半径r₁=3
同理，C₂的标准方程是：（x+1）²+（y-m）²=4，圆心为C₂（-1，m），半径r₂=2．
（1）如果圆C₁与圆C₂相离，则|C₁C₂|=r₁+r₂=5，即

(-m-1)2+(2+m)2

＞5
平方化简整理，得m²+3m-10＞0，
解之得{m|m＞2或m＜-5}．
（2）圆C₁与圆C₂相离，则|C₁C₂|=r₁+r₂=5，即

(-m-1)2+(2+m)2

=5
平方化简整理，得m²+3m-10=0，
解之得{m|m=2或m=-5}．
（3）如果C₁与C₂相交，则5＞|C₁C₂|＞|r₁-r₂|=1，即5＞

(-m-1)2+(2+m)2

＞1，
解之得{m|-5＜m＜-2或-1＜m＜2}．

点评：本题给出两个含有字母m的圆的一般方程，在满足外切、相离、相交的情况下求m的取值范围．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．