Question

12．已知函数f（x）=|a^x-1|（a＞1）的图象为曲线C，O为坐标原点，若点P为曲线C上任意一点，曲线C上存在点Q，使得OP⊥OQ，则实数a的取值集合是{e}．

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，通过图象观察P，Q的存在性，考虑P，Q与O重合的情况，求出导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率之积为-1，解方程可得a的值．

解答 解：若P不与O重合，P在y轴的一侧，则与OP垂直的OQ，
则Q在y轴的另一侧，
若P从左边与O重合，则P在y=1-a^x图象上，
可得导数为-a^xlna，
由题意可得Q从右边与O重合，
则Q在y=a^x-1图象上，
可得导数为a^xlna，
且有-a^xlna•-a^xlna=-1，
可令x=0，解得lna=±1，
解得a=e（$\frac{1}{e}$舍去）．
故答案为{e}．

点评 本题考查函数的图象和应用，以及导数的运用：求切线的斜率，考查数形结合的思想方法，属于中档题．