Question

17．设等比数列{a_n}满足a₁+a₃=10，a₂+a₄=5，记M_n=2a₁a₂…a_n，求M_n的最大值=64．

Answer 1

分析 求出数列的等比与首项，化简a₁a₂…a_n，然后求解最值．

解答 解：等比数列{a_n}满足a₁+a₃=10，a₂+a₄=5，
可得q（a₁+a₃）=5，解得q=$\frac{1}{2}$．
a₁+q²a₁=10，解得a₁=8．
则a₁a₂…a_n=a₁ⁿ•q^{1+2+3+…+（n-1）}=8ⁿ•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$=2${\;}^{3n-\frac{{n}^{2}-n}{2}}$=2${\;}^{\frac{7n-{n}^{2}}{2}}$，
当n=3或4时，M_n的最大值=2${\;}^{\frac{12}{2}}$=64．
故答案是：64．

点评 本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．