Question

【题目】已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有？若存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）利用椭圆定义求轨迹方程：先由动圆与圆外切并与圆内切，得，从而，再由椭圆的定义可知，曲线是以为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为（2）条件就是，利用坐标化简得：设，则，再联立直线方程与椭圆方程，消去y，利用韦达定理得，代入化简得

试题解析：（1）得圆的圆心为，半径；圆的圆心，半径.设圆的圆心为，半径为.因为圆与圆外切并与圆内切，所以

由椭圆的定义可知，曲线是以为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为

（2）假设存在满足.设

联立得，由韦达定理有

①，其中恒成立，

由（显然的斜率存在），故，即②，

由两点在直线上，故代入②得：

即有

③

将①代入③即有：④，要使得④与的取值无关，当且仅当“”时成立，综上所述存在，使得当变化时，总有