Question

14．已知函数f（x）=（m²-m-1）${x}^{{m}^{2}+m-3}$是幂函数，对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，若a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）

• A． 恒小于0
• B． 恒大于0
• C． 等于0
• D． 无法判断

Answer 1

分析 利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可．

解答 解：由已知函数f（x）=（m²-m-1）${x}^{{m}^{2}+m-3}$是幂函数，可得m²-m-1=1，解得m=2或m=-1，
当m=2时，f（x）=x³；当m=-1时，f（x）=x^-3．
对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
函数是单调减函数，∴m=-1，f（x）=x^-3．
a+b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
则f（a）+f（b）恒小于0．
故选：A．

点评 本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，考查计算能力．