Question

2．2016高考成绩揭晓，漯河高中再创辉煌，考后学校对于单科成绩逐个进行分析：现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析，规定：大于等于135分为优秀，135分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{11}$．

班级	优秀	非优秀	合计
甲班	18
乙班		43
合计			110

（1）请完成上面的列联表
（2）请问：是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？
（3）用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）
参考数据：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05
k0	1.323	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接填写联列表即可．
（2）求出k²，即可判断“数学成绩与所在的班级有关系”．
（3）从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，分别记为A₁，A₂，A₃，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别为B₁，B₂，列出所有基本事件，设“抽到的2名学生中至少有1名乙班学生”为事件A，求出事件A包含的基本事件个数，然后求解概率．

解答 解：（1）

班级	优秀	非优秀	合计
甲班	18	37	55
乙班	12	43	55
合计	30	80	110

…（3分）
（2）由题意得${K^2}=\frac{{110{{（18×43-12×37）}^2}}}{55×55×30×80}=1.65＞1.323$
所以有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”…（6分）
（3）因为甲、乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为18：12=3：2，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，分别记为A₁，A₂，A₃，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别为B₁，B₂，则从抽取的5名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件有A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₁A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，共10个
设“抽到的2名学生中至少有1名乙班学生”为事件A，则事件A包含的基本事件有A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，共7个，
所以$P（A）=\frac{7}{10}$，即抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率是$\frac{7}{10}$（12分）

点评 本题考查独立事件与联列表以及古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．