Question

13．△ABC中，A（-4，0），B（4，0），且sinA-sinB=$\frac{1}{2}$sinC，则顶点C的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（x＞2）
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（x＜-2）
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（x＞2）
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（x＜-2）

Answer 1

分析 sinA-sinB=$\frac{1}{2}$sinC，由正弦定理得a-b=$\frac{1}{2}$c，即|CB|-|CA|=4＜8=|AB|，由双曲线的定义可知点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，且a=2，c=4，即可得出结论．

解答 解：∵sinA-sinB=$\frac{1}{2}$sinC，
∴由正弦定理得a-b=$\frac{1}{2}$c，即|CB|-|CA|=4＜8=|AB|，
由双曲线的定义可知点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支，且a=2，c=4，
∴b²=c²-a²=12．
∴顶点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（x＜-2）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，判断点C的轨迹是以B、A为焦点的双曲线一支，是解题的关键．