Question

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：①；   ②f（x）=x³；    ③f（x）=log₂x+1

则存在“等值区间”的函数的个数是　　．

Answer 1

解答：解：①对于函数，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的减函数，故有=a，=b，即（a，b），（b，a）点均在函数图象上，且两点关于y=x对称，两点只能同时是函数，与函数图象的唯一交点．即只能是a=b，故①不存在“等值区间”．②对于函数f（x）=x³存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．③对于 f（x）=log₂x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．存在“等值区间”的函数的个数是2个