Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{a}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0），的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{3}$，右焦点为F，点F在渐近线上的射影为M，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=4．

Answer 1

分析 运用离心率公式解方程可得a=9，求得双曲线方程及渐近线方程，运用向量数量积的定义，可得$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|•cos∠OFM，运用F到渐近线的距离，即可得到所求值．

解答 解：由题意可得e=$\frac{\sqrt{a+4}}{\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
可得a=9，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
焦点F（$\sqrt{13}$，0），
则$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|•cos∠OFM
=|$\overrightarrow{MF}$|²，
由F到渐近线y=-$\frac{2}{3}$x的距离为|MF|=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{4+9}}$=2，
则$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查向量的数量积的定义和计算，考查运算能力，属于中档题．