Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$+m（ω＞0）的最小正周期为3π，且当x∈[$\frac{π}{4}$，π]时，函数f（x）的最大值为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角恒等变换将f（x）化简，结合函数的最小正周期求出x的系数，根据x的范围，求出m的值，从而求出f（x）的表达式即可；
（Ⅱ）根据f（C）=1，结合C的范围，求出C的值，结合2sin²B=cosB+cos（A-C），得到关于sinA的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$+m
=$\sqrt{3}$sinωx-2•$\frac{1-cosωx}{2}$+m
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1+m
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1+m，
∵f（x）的最小正周期为3π，即$\frac{2π}{ω}$=3π，解得：ω=$\frac{2}{3}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1+m，
当x∈[$\frac{π}{4}$，π]时，$\frac{π}{3}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）的最大值是1+m，故1+m=1，解得：m=0，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1；
（Ⅱ）∵f（C）=2sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5}{6}$π，
∴$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：C=$\frac{π}{2}$，
∴A+B=$\frac{π}{2}$，又2sin²B=cosB+cos（A-C），
∴2cos²A=sinA+sinA，即cos²A-sinA=0，
∴1-sin²A-sinA=0，
解得：sinA=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．