Question

10．如图，在三棱柱FPE-ACB中，AC=BC=2，∠ACB=90°．△PAB为等边三角形，PC⊥BC．
（I）求证：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值；并求三棱锥p-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知证明△PAC≌△PBC，可得PC⊥CA，再由线面垂直的判定证明平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）由题意可得PC=AC=2，取PA中点G，连接BG、CG，则BG⊥PA，CG⊥PA，则∠BGC为二面角B-AP-C的平面角，求解直角三角形可得二面角B-AP-C的正弦值；直接由三棱锥的体积公式求得三棱锥p-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，∵AC=BC，PA=PB，PC=PC，
∴△PAC≌△PBC，
∵PC⊥BC，∴PC⊥CA，
又AC∩BC=C，∴PC⊥面ABC，
∵PC?面PAC，
∴平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：在Rt△ACB中，由AC=BC=2，得AB=$2\sqrt{2}$，
∵△PAB为等边三角形，∴PA=PB=$2\sqrt{2}$，
在Rt△PCA中，可得PC=2，
取PA中点G，连接BG、CG，则BG⊥PA，CG⊥PA，
∴∠BGC为二面角B-AP-C的平面角，
在Rt△BCG中，由CG=$\sqrt{2}$，BC=2，得$BG=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴$sin∠BGC=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．