Question

13．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过当$α=\frac{π}{2}$时，当$α≠\frac{π}{2}$时，分别求出直线l的普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，然后求解曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把x=-1+tcosα，y=tsinα代入x²+y²=2x，利用△=0，求解直线l倾斜角α．

解答 解：（Ⅰ）当$α=\frac{π}{2}$时，直线l的普通方程为x=-1；
当$α≠\frac{π}{2}$时，直线l的普通方程为y=（tanα）（x+1）．…（2分）
由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
所以x²+y²=2x，即为曲线C的直角坐标方程．…（4分）
（Ⅱ）把x=-1+tcosα，y=tsinα代入x²+y²=2x，整理得t²-4tcosα+3=0．当α=$\frac{π}{2}$时，方程化为：t²+3=0，方程不成立，当$α≠\frac{π}{2}$时，由△=16cos²α-12=0，得${cos^2}α\;=\;\frac{3}{4}$，所以$cosα\;=\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$cosα\;=\;-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故直线l倾斜角α为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程与极坐标方程的应用，考查计算能力．