Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（1）求证：平面PAD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意证明△PNA≌△BNA，得到BN⊥AD，再由线面垂直的判定证得AD⊥平面PNB，最后由面面垂直的判定得答案；
（2）由面面垂直的性质得到PN⊥平面ABCD，进一步得到PN⊥BN，再由等积法把三棱锥P-NBM的体积转化为棱锥C-PNB的体积求解．

解答 （1）证明：∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴PA=AB，AN=AN，∠PAN=∠BAN，
∴△PNA≌△BNA，则BN⊥AD，
∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，
又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PNB；
（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴PN=NB=$\sqrt{3}$，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥BN，
∴S_△PNB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，
∵PM=2MC，∴V_P-NBM=V_M-PNB=$\frac{2}{3}$V_C-PNB=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了棱锥、棱柱、棱台体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．