Question

5．如图，直三棱柱A′B′C′-ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，$AB=BC=\sqrt{2}$，A′A=2．
（1）证明：BE∥平面A′ACC′；
（2）求三棱锥A′-EB′C的体积
′．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，E、B分别为A′D、DC的中点，由三角形中位线定理可得EB∥A′C，再由线面平行的判定得答案；
（2）由已知求得AC=A′A=2，利用面面垂直的性质可得BB′⊥平面A′B′C′，再由线面垂直的判定得A′B′⊥平面BCC′B′，然后利用等积法把三棱锥A′-EB′C的体积转化为A′-B′DC面积的一半得答案．

解答 （1）证明：∵E、B分别为A′D、DC的中点，∴EB∥A′C
又A′C?平面A′ACC′，且BE?平面A′ACC′，
∴BE∥平面A′ACC′

（2）解：∵AB=BC=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，∴AC=2，
又A′A=2，∴AC=A′A=2，
∵A′B′C′-ABC为直三棱柱，∴∠A′B′C′=90°，
∴A′B′⊥B′C′，
又BB′⊥平面A′B′C′，
∴A′B′⊥B′B，
又B′C′∩BB′=B′，
∴A′B′⊥平面BCC′B′．
∴${V_{A'-EB'C}}={V_{B'-A'EC}}=\frac{1}{2}{V_{B'-A'DC}}=\frac{1}{2}{V_{A'-B'DC}}=\frac{1}{2}[{\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2）\sqrt{2}}]=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台体积的求法，训练了等积法的运用，是中档题．