Question

10．如图所示，在三棱锥P-ABC中，$AB=BC=2\sqrt{3}$，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=2，CD=4，PD=3．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证明：△PBC为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC，得PD⊥平面ABC，取AC边上的中点为E，有BE⊥AC．求出BE和AC的长度，可得△ABC的面积，然后代入体积公式求得三棱锥P-ABC的体积；
（2）由PD⊥AC，得△PCD为直角三角形，求解得到PC=5，连接BD，在Rt△BDE中，求得BD=2，在Rt△PBD中，求得$PB=\sqrt{13}$，然后利用勾股定理可得BC²+PB²=PC²．得到△PBC为直角三角形．

解答 （1）解：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，
∴PD⊥平面ABC
记AC边上的中点为E，在△ABC中，
∵AB=AC，
∴BE⊥AC．
∵$AB=BC=2\sqrt{3}$，AC=AD+DC=6，
∴$BE=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AC×BE=3\sqrt{3}$，
∵PD=3，
∴三棱锥P-ABC的体积${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×PD$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$；
（2）证明：∵PD⊥AC，
∴△PCD为直角三角形．
∵PD=3，CD=4，

∴PC=5，
连接BD，在Rt△BDE中，
∵∠BED=90°，$BE=\sqrt{3}$，DE=1，
∴BD=2，
由（1）知PD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，
∴PD⊥BD．
在Rt△PBD中，∵PD=3，BD=2，
∴$PB=\sqrt{13}$，
在△PBC中，∵$BC=2\sqrt{3}$，$PB=\sqrt{13}$，PC=5，
∴BC²+PB²=PC²．
∴△PBC为直角三角形．

点评 本题考查棱锥体积的求法，考查了空间中线面位置关系的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．