Question

7．已知参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$（t为参数）的直线l经过椭圆$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$的左焦点F₁，且交y轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．
（I）求点C对应的参数t_C（用θ表示）；
（Ⅱ）若|F₁B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆方程，求出焦点坐标，利用${x_0}=-\sqrt{2}$，在直线l的参数方程中，令x=0，求解即可．
（Ⅱ）解法1：把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.$代入椭圆方程，设点A、B对应的参数为t_A、t_B，由|F₁B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t_A+t_B=t_C，求解即可．
解法2：设A、B两点的横坐标分别为x_A、x_B，将直线l的普通方程$y=tanθ（x+\sqrt{2}）$代入椭圆方程利用韦达定理，以及|F₁B|=|AC|，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在椭圆$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$中，
∵a²=3，b²=1，∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{2}$，即${F_1}（{-\sqrt{2}，0}）$，--------------------------（2分）
故${x_0}=-\sqrt{2}$，在直线l的参数方程中，令x=0，解得${t_C}=\frac{{\sqrt{2}}}{cosθ}$；--------------------（4分）
（Ⅱ）解法1：把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.$代入椭圆方程，
并整理得：$（{1+2{{sin}^2}θ}）{t^2}-2\sqrt{2}tcosθ-1=0$，----------------------------（6分）
设点A、B对应的参数为t_A、t_B，由|F₁B|=|AC|结合参数t的几何意义得：t_A+t_B=t_C，
即$\frac{{2\sqrt{2}cosθ}}{{1+2{{sin}^2}θ}}=\frac{{\sqrt{2}}}{cosθ}$，------------------------------（8分）
解得$sinθ=\frac{1}{2}$，依题意知$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，∴$θ=\frac{π}{6}$．----------------------------------（10分）
解法2：设A、B两点的横坐标分别为x_A、x_B，
将直线l的普通方程$y=tanθ（x+\sqrt{2}）$代入椭圆方程并整理得：$（1+3{tan^2}θ）{x^2}+6\sqrt{2}{tan^2}θx+6{tan^2}θ-3=0$，------------------------------------（6分）
则${x_A}+{x_B}=-\frac{{6\sqrt{2}{{tan}^2}θ}}{{1+3{{tan}^2}θ}}$，---------------------------（7分）
∵$|{F_1}B|=\frac{{-{x_B}-\sqrt{2}}}{cosθ}，|AC|=\frac{x_A}{cosθ}$-----------------------------（8分）
∴${x_A}+{x_B}=-\sqrt{2}=-\frac{{6\sqrt{2}{{tan}^2}θ}}{{1+3{{tan}^2}θ}}$，
解得$tanθ=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，依题意知$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，得$θ=\frac{π}{6}$．--------------------------------（10分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力．