Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，并且有Sn=

a13+a23+a33+…+an3

（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{b_n}，其中 b_n=

1

an2

，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接在数列递推式中分别取n=1，2，3求得数列的前三项；
（2）由数列递推式得到数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，然后由等差数列的通项公式得答案；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入 b_n=

1

an2

，整理后利用放缩法证明数列不等式．

解答： （1）解：在S_n=

a13+a23+a33+…+an3

中，
当n=1时，a1=S1=

a13

，即a12=a13，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
当n=2时，（a1+a2）2=a12+a23，即1+2a2+a22=1+a23，
解得：a₂=-1或a₂=2．
∵a₂＞0，∴a₂=2；
当n=3时，(a1+a2+a3)2=a13+a23+a33，
即(3+a3)2=9+a33，解得：a₃=3；
（2）解：由S_n=

a13+a23+a33+…+an3

，得
a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n² ①，
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1² ②，
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n ③，
∵a₁=1适合上式．
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1 ④，
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n=n；
（3）证明：b_n=

1

an2

=

1

n2

，
则Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=1+

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，关键是对数列的放缩度的把握，是压轴题．