Question

18．已知数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*均有a_n+1=ka_n+3k-3，其中k为不等于0与1的常数，若a_i∈{-678，-78，-3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a₁所有可能值的和为$\frac{6023}{3}$．

Answer 1

分析 依题意，可得a_n+1+3=k（a_n+3），再对a₁=-3与a₁≠-3讨论，特别是a₁≠-3时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a₁所有可能值，从而可得答案．

解答 解：∵a_n+1=ka_n+3k-3，
∴a_n+1+3=k（a_n+3），
∴①若a₁=-3，则a₁₊₁+3=k（a₁+3）=0，a₂=-3，同理可得，a₃=a₄=a₅=-3，即a₁=-3复合题意；
②若a₁≠-3，k为不等于0与1的常数，则数列{a_n+3}是以k为公比的等比数列，
∵a_i∈{-678，-78，-3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，
a_n+3可以取-675，-75，25，225，
∵-75=25×（-3），225=-75×（-3），-675=225×（-3），
∴若公比|k|＞1，则k=-3，由a₂+3=22+3=-3（a₁+3）得：a₁=-$\frac{25}{3}$-3=-$\frac{34}{3}$；
若公比|k|＜1，则k=-$\frac{1}{3}$，由a₂+3=-675=-$\frac{1}{3}$（a₁+3）得：a₁=2025-3=2022；
综上所述，满足条件的a₁所有可能值为-3，-$\frac{34}{3}$，2022．
∴a₁所有可能值的和为：-3-$\frac{34}{3}$+2022=$\frac{6023}{3}$．．
故答案为：$\frac{6023}{3}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，对a_n+1+3=k（a_n+3）的理解与应用是难点，对公比k分|k|＞1与|k|＜1讨论是关键，考查逻辑思维与推理运算能力，属于难题．