Question

3．如图，已知曲线${C_1}：y=\frac{2x}{x+1}\;\;（x＞0）$及曲线${C_2}：y=\frac{1}{3x}\;\;（x＞0）$，C₁上的点P₁的横坐标为${a_1}\;（0＜{a_1}＜\frac{1}{2}）$．从C₁上的点${P_n}\;（n∈{N^*}）$作直线平行于x轴，交曲线C₂于Q_n点，再从C₂上的点${Q_n}\;（n∈{N^*}）$作直线平行于y轴，交曲线C₁于P_n+1点，点P_n（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{a_n}．
（1）求曲线C₁和曲线C₂的交点坐标；
（2）试求a_n+1与a_n之间的关系；
（3）证明：${a_{2n-1}}＜\frac{1}{2}＜{a_{2n}}$．

Answer 1

分析 （1）取立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2x}{x+1}，x＞0}\\{y=\frac{1}{3x}，x＞0}\end{array}\right.$，能求出曲线C₁和曲线C₂的交点坐标．
（2）设P_n（${a}_{n}，{y}_{{p}_{n}}$），${Q}_{n}（{x}_{{Q}_{n}}，{y}_{{Q}_{n}}）$，由已知${y}_{{P}_{n}}=\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，能求出${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$．
（3）由${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$，${a}_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{-2（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{6{a}_{n}}$，得${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$与${a}_{n}-\frac{1}{2}$异号，由此能证明a_2n-1$＜\frac{1}{2}＜{a}_{2n}$．

解答 解：（1）∵曲线${C_1}：y=\frac{2x}{x+1}\;\;（x＞0）$及曲线${C_2}：y=\frac{1}{3x}\;\;（x＞0）$，
取立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2x}{x+1}，x＞0}\\{y=\frac{1}{3x}，x＞0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{2}{3}$，
∴曲线C₁和曲线C₂的交点坐标是（$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}$）．
（2）设P_n（${a}_{n}，{y}_{{p}_{n}}$），${Q}_{n}（{x}_{{Q}_{n}}，{y}_{{Q}_{n}}）$，由已知${y}_{{P}_{n}}=\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
又${y}_{{Q}_{n}}={y}_{{P}_{n}}$，${x}_{{Q}_{n}}=\frac{1}{3{y}_{{Q}_{n}}}$=$\frac{1}{3-\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$=${x}_{{p}_{n+1}}={a}_{n+1}$，
${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$．
证明：（3）a_n＞0，由${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$，${a}_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{-2（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{6{a}_{n}}$，
得${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$与${a}_{n}-\frac{1}{2}$异号，
∵0＜a₁$＜\frac{1}{2}$，${a}_{1}-\frac{1}{2}＜0$，${a}_{2n-1}-\frac{1}{2}＜0$，${a}_{2n}-\frac{1}{2}＞0$，
∴a_2n-1$＜\frac{1}{2}＜{a}_{2n}$．

点评 本题考查两曲线交点坐标的求法，考查数列中前一项与后一项的关系的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．