Question

6．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=a，AA₁=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．
（1）求异面直线BC₁与EF所成角的大小；
（2）求四面体CA₁EF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C₁，由E，F分别是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步得到EF∥A₁C₁，可知∠A₁C₁B为异面直线BC₁与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；
（2）直接利用等体积法把四面体CA₁EF的体积转化为三棱锥A₁-EFC的体积求解．

解答 解：（1）连接A₁C₁，
∵E，F分别是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，则EF∥A₁C₁，
∴∠A₁C₁B为异面直线BC₁与EF所成角．
在△A₁C₁B中，由AB=a，AA₁=2a，得${C_1}B={A_1}B=\sqrt{5}a$，${A_1}{C_1}=\sqrt{2}a$，
∴cos∠A₁C₁B=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴异面直线BC₁与EF所成角的大小为$arccos\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）${V_{C-{A_1}EF}}={V_{{A_1}-EFC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•2a=\frac{a^3}{12}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．