Question

1．已知f（x）=a^x-b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 根据对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：f（x）=a^x-b，g（x）=x+1，
那么：f（x）•g（x）≤0，即（a^x-b）（x+1）≤0．
对任意实数x均成立，可得a^x-b=0，x+1=0，
故得ab=1．
那么：$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$$≥2\sqrt{\frac{4}{ab}}$=4，当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=2时取等号．
故$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了恒成立的问题的转化以及基本不等式的性质的运用，属于基础题．