Question

4．已知O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$=（2cosx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OB}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-1），若f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+2．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和二倍角公式，化简f（x），再根据对称轴方程的定义即可求出，
（2）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，转化为-m=f（x），求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}=（2cosx，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{OB}=（sinx+\sqrt{3}cosx，-1）$，
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+2=2cosxsinx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$+2=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2
∴对称轴方程为2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
（2）∵当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，函数g（x）=f（x）+m有零点，
∴-m=f（x）
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴f（x）∈（-$\sqrt{3}$+2，4]，
∴m∈[-4，$\sqrt{3}$-2）

点评 本题主要考查 了辅助角公式的应用，正弦函数的对称轴的求解，方程与函数的相互转化，是一道综合性比较好的试题．