Question

9．定义：二阶行列式$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc（a，b，c，d∈R）．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，$|\begin{array}{l}{{a}_{n+2}}&{{a}_{n+1}}\\{{a}_{n+1}}&{{a}_{n}}\end{array}|$=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）求证：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）
（Ⅲ）试问该数列任意两个相邻项的平方和仍然是该数列中的一个项吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由$|\begin{array}{l}{{a}_{n+2}}&{{a}_{n+1}}\\{{a}_{n+1}}&{{a}_{n}}\end{array}|$=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），可得a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，又a₁=1，a₂=2，${a}_{3}×1-{2}^{2}$=1，解得a₃．同理可得：a₄，a₅．
（II）a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺²，可得a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，利用数学归纳法证明：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）．
（III）n=1时，${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$=5=a₃．由已知可得：a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，可得$（{a}_{n+1}）^{2}$+$（{a}_{n+2}）^{2}$=a_n+2a_n+a_n+3a_n+1，?a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）．

解答 （I）解：∵$|\begin{array}{l}{{a}_{n+2}}&{{a}_{n+1}}\\{{a}_{n+1}}&{{a}_{n}}\end{array}|$=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），∴a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，
又a₁=1，a₂=2，∴${a}_{3}×1-{2}^{2}$=1，解得a₃=5．
同理可得：a₄=12，a₅=29．
（II）证明：∵a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，
∴a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺²，
∴a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，
下面利用数学归纳法证明：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）．
（i）当n=1时，2a₂+a₁=5=a₃，成立．
（ii）假设n=k∈N^*时，a_k+2=2a_k+1+a_k，
则a_k+2（a_k+2-2a_k+1）-$（{a}_{k+1}）^{2}$+${a}_{k+3}{a}_{k+1}-（{a}_{k+2}）^{2}$=0，
化为：a_k+3=2a_k+2+a_k+1．
因此n=k+1时等式a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）成立．
综上，?n∈N*，a_n+2=2a_n+1+a_n．
（III）解：n=1时，${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$=5=a₃．
由a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，可得$（{a}_{n+1}）^{2}$+$（{a}_{n+2}）^{2}$=a_n+2a_n+a_n+3a_n+1，
?a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*），
因此该数列任意两个相邻项的平方和仍然是该数列中的一个项．

点评 本题考查了行列式的运算性质、数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．