Question

求证：

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

（n是正整数）．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,推理和证明

分析：首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

=1-

1

2k

，下面证明当n=k+1时等式左边=

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

+

1

2k+1

，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=

1

2

，右边=

1

2

，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

=1-

1

2k

；
当n=k+1时，等式左边=

1

2

+

1

4

+…+

1

2k

+

1

2k+1

=1-

1

2k

+

1

2k+1

=1-

1

2k+1

这就是说，n=k+1时，等式成立．
综上（1）（2）可知

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

（n是正整数）．．

点评：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中的结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．