Question

14．如图所示，已知圆O的半径长为4，两条弦AC，BD相交于点E，若$BD=4\sqrt{3}$，BE＞DE，E为AC的中点，$AB=\sqrt{2}AE$．
（1）求证：AC平分∠BCD；
（2）求∠ADB的度数．

Answer 1

分析 （1）由已知可证△ABE∽△ACB，即可得到∠ABE=∠ACB，又∠ACD=∠ABE，从而证明∠ACD=∠ACB，得到结论．
（2）连接OA，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，连接OB，可求cos∠AOB=$\frac{OF}{OB}$的值，进而可求∠AOB，及∠ADB的度数．

解答 解：（1）由E为AC的中点，$AB=\sqrt{2}AE$，得$\frac{AB}{AE}=\sqrt{2}=\frac{AC}{AB}$．
又∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∠ACD=∠ABE，
∴∠ACD=∠ACB，
故AC平分∠BCD．
（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则OA⊥BD，
设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，$BF=2\sqrt{3}$，
连接OB，则$OF=\sqrt{O{B^2}-B{F^2}}=\sqrt{{4^2}-{{（2\sqrt{3}）}^2}}=2$，
∴$cos∠AOB=\frac{OF}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，∠AOB=60°．
∴$∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB={30}$°．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．