Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）求证：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求直线AE一平面ABD所成角的正弦值；
（3）设BD=1，求点D到面ABC的距离．

Answer 1

解：（1）证明：∵折起前AD是BC边上的高
∴当△ADB折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（2）如图：以D为坐标原点，以DB、DA所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，
设BD=1易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），A（0，0，），E（，，0），=（，，﹣），
取平面ABD的法向量为=（0，1，0）
∴cos＜，＞===
设直线AE与平面ABD所成角为θ，则sinθ=
∴直线AE与平面ABD所成角的正弦值为
（3）由（2）知，=（，，0），=（﹣1，0，），
设=（x，y，z）为平面ABC的法向量，则，
取=（3，﹣1，3）
则D点到面ABC的距离d===