Question

20．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n-n•2ⁿ⁺¹＜-50成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）设单调递增的等比数列{a_n}的公比为q，由于a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中项．可得${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=14，2（a₂+1）=a₁+a₃，即2（a₁q+1）=${a}_{1}（1+{q}^{2}）$，联立解出即可得出．
（2）b_n=a_nlog₂a_n，=n•2ⁿ．利用“错位相减法”即可得出数列b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设单调递增的等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中项．
∴${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=14，2（a₂+1）=a₁+a₃，即2（a₁q+1）=${a}_{1}（1+{q}^{2}）$，
联立解得a₁=2，q=2；或a₁=8，q=$\frac{1}{2}$，（舍去）．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog₂a_n，=n•2ⁿ．
∴数列b_n}的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
S_n-n•2ⁿ⁺¹＜-50化为：-2ⁿ⁺¹+2＜-50，即2ⁿ＞26，
∴S_n-n•2ⁿ⁺¹＜-50成立的n的最小值为5．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．