Question

11．已知$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$$（0＜α＜\frac{π}{2}\;，\;-\frac{π}{2}＜β＜0）$且$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若$cosβ=\frac{12}{13}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （I）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，利用$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$列出方程，使用差角公式化简即可得出cos（α-β）的值；
（II）根据α，β的范围计算sin（α-β），sinβ，利用和角公式的余弦函数公式计算cosα=cos[（α-β）+β]．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∵$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=$\frac{4}{5}$．
即2-2cosαβ-2sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，∴cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}$．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}$．．
（Ⅱ）∵$0＜α＜\frac{π}{2}\;，\;-\frac{π}{2}＜β＜0$，∴α-β∈（0，π），
∴$sin（α-β）=\frac{4}{5}$，$sinβ=-\frac{5}{13}$，
∴cosα=cos[（α-β）+β]=cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}-\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）=\frac{56}{65}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，平面向量的数量积运算，两角和差的三角函数的公式，属于中档题．