Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b²=a²+c²+ac．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若$b=\sqrt{3}$，S为△ABC的面积，求$S+\sqrt{3}cosAcosC$的最大值，并求出A角．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出；
（II）由（Ⅰ）得$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又由正弦定理及b=$\sqrt{3}$，可得$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•\frac{bsinA}{sinB}•bsinC=\sqrt{3}sinAsinC$，利用和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理，得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{-ac}{2ac}=-\frac{1}{2}$．
又∵0＜B＜π，∴$B=\frac{2}{3}π$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又由正弦定理及b=$\sqrt{3}$，可得$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•\frac{bsinA}{sinB}•bsinC=\sqrt{3}sinAsinC$，
∴$S+\sqrt{3}cosAcosC=\sqrt{3}（cosAcosC+sinAsinC）=\sqrt{3}cos（A-C）$．
当A=C，即$A=\frac{π-B}{2}=\frac{π}{6}$时，$S+\sqrt{3}cosAcosC$取最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．