Question

7．已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，求tanθ及tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 利用同角的三角函数的关系式求cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，结合两角和差的正切公式进行求解即可．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴sinθ=$\frac{1}{5}$+cosθ，
平方得sin²θ=$\frac{1}{25}$+$\frac{2}{5}$cosθ+cos²θ=1-cos²θ，
即cos²θ+$\frac{1}{5}$cosθ-$\frac{12}{25}$=0，
即（cosθ-$\frac{3}{5}$）（cosθ+$\frac{4}{5}$）=0，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosθ＞0，
则cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$，
tan（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ-tan\frac{π}{4}}{1+tanθtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{4-3}{3+4}=\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用同角的三角函数的关系式求出正弦值和余弦值是解决本题的关键．