Question

2．已知角θ（$\frac{π}{2}$＜θ＜π）的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，将角θ逆时针旋转$\frac{π}{3}$时，角θ的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为-$\frac{3}{5}$，则cosθ的值为-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 根据θ的取值范围，求出θ+$\frac{π}{3}$的取值范围，再利用三角函数的定义与三角恒等变换即可求出cosθ的值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
将角θ逆时针旋转$\frac{π}{3}$时，$\frac{5π}{6}$＜θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$；
又sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]
=cos（θ+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（θ+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=-$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．
故答案为：-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查了任意角三角函数的定义与应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．