Question

1．已知函数f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．

解答 解：当a=0时，f（x）=2^x，为增函数，满足在区间[0，1]上单调递增，
当a＜0时，f（x）=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$，f′（x）=2^xln2+$\frac{aln2}{{2}^{x}}$，
若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，
即2^xln2+$\frac{aln2}{{2}^{x}}$≥0，即a≥-（2^x）²=-4^x，
∵0≤x≤1，∴1≤4^x≤4，-4≤-4^x≤-1，
则a≥-1，则-1≤a＜0，
当a＞0时，y=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$为增函数，
由y=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$=0得（2^x）²=2^2x=a，
则2x=log₂a，即x=$\frac{1}{2}$log₂a，
即f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，在（-∞，$\frac{1}{2}$log₂a]为减函数，在[$\frac{1}{2}$log₂a，+∞）上为增函数
若f（x）区间[0，1]上单调递增，则$\frac{1}{2}$log₂a≤0，即log₂a≤0，即0＜a≤1，
综上，实数a的取值范围是[-1，1]，
故答案为：[-1，1]．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合考查导数的应用．