Question

16．某校数学文化节同时安排A、B两场讲座，已知甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听A讲座，其余5人选择听B讲座，乙寝室2人选择听A讲座，其余4人选择听B讲座，现从甲、乙两寝室中各任选2人．
（1）求选出的4人均选择听B讲座的概率；
（2）设ξ为选出的4人中选择听A讲座的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出选出的4人均选择听B讲座的概率．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听A讲座，其余5人选择听B讲座，
乙寝室2人选择听A讲座，其余4人选择听B讲座，现从甲、乙两寝室中各任选2人，
∴选出的4人均选择听B讲座的概率：
p=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{12}{45}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{22}{45}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{10}{45}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{12}{45}$	$\frac{22}{45}$	$\frac{10}{45}$	$\frac{1}{45}$

Eξ=$0×\frac{12}{45}+1×\frac{22}{45}+2×\frac{10}{45}+3×\frac{1}{45}$=1．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．