Question

6．在△ABC中，B=60°，C=45°，BC=8，D为BC上一点，AD=4（3$-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=$λ\overrightarrow{BC}$，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 使用正弦定理求出AB，则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$，两边平方得出关于λ的方程，解出λ即可．

解答 解：∠BAC=180°-B-C=75°，∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AB}{sinC}$，即
∴AB=$\frac{BC•sinC}{sin∠BAC}$=$\frac{8×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=8（$\sqrt{3}-1$）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=8（\sqrt{3}-1）×8×cos120°$=32（1-$\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+2λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+{λ}^{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}$，
即16（3-$\sqrt{3}$）²=64（$\sqrt{3}-1$）²+64λ（1-$\sqrt{3}$）+64λ²，
∴2λ²+2（1-$\sqrt{3}$）λ+2-$\sqrt{3}=0$，
解得λ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，属于中档题．