Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA1=

3

，E、F分别是A₁C₁、BC的中点，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）求证AB⊥BC
（II）FC₁∥平面ABE
（III）求平面ABE与平面EFC₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中点G，连接EG，GB，过C作CH⊥GB于H，证明AB⊥平面BB₁C₁C，可得AB⊥BC；
（II）取AB中点D，连接ED，DF，证明FC₁∥ED，可得FC₁∥平面ABE
（III）建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量

m

=（

3

，0，-1），平面EFC₁的法向量取

n

=（

3

，1，-1），利用向量的夹角公式，即可求平面ABE与平面EFC₁所成锐二面角的余弦值．

解答：（I）证明：取B₁C₁的中点G，连接EG，GB，

则EG∥AB，GB是平面ABE与平面BB₁C₁C的交线
过C作CH⊥GB于H，则∵平面ABE⊥平面BB₁C₁C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC₁⊥AB，CC₁∩CH=C
∴AB⊥平面BB₁C₁C
∵BC?平面BB₁C₁C
∴AB⊥BC
（II）证明：取AB中点D，连接ED，DF，则DF∥EC₁，且DF=EC₁，
∴FC₁∥ED
∵FC₁?平面ABE，ED?平面ABE
∴FC₁∥平面ABE
（III）解：∵AB⊥BC，∴AB=2

3

建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2

3

，0），E（1，

3

，

3

），F（1，0，0），C₁（2，0，

3

）
∴

BA

=（0，2

3

，0），

BE

=（1，

3

，

3

），

EC1

=（1，-

3

，0），

FC1

=(1，0，

3

)
设

m

=（x，y，z）是平面ABE的法向量，则

BA • m =0 BE • m =0

，即

2 3 y=0 x+ 3 y+ 3 z=0

，可取

m

=（

3

，0，-1）；
设

n

=（x′，y′，z′）是平面EFC₁的法向量，则

EC1 • n =0 FC1 • n =0

，即

x′- 3 y′=0 x′+ 3 z′=0

，可取

n

=（

3

，1，-1）
∴平面ABE与平面EFC₁所成锐二面角的余弦值为|

m • n

| m || n |

|=

3+1

2× 5

=

2 5

5

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确求出平面的法向量．