Question

【题目】已知函数，

（Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程；

（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（I）利用导数求得函数图像在处切线的斜率，根据两条直线垂直斜率的关系列方程，解方程求得的值，求得切点坐标后求出切线方程.（II）设切点坐标，利用导数求得切线方程，将代入切线方程并化简，构造函数，将条切线问题转化为直线与有三个不同交点问题来解决，利用导数求得的极大值和极小值，由此求得的取值范围.

（Ⅰ）由得，于是在处的切线的斜率为.

由于切线与直线垂直，所以. 故实数的值为.

当时，切点为，切线为;

当时，切点为，切线为.

（Ⅱ）设切点坐标，切线斜率为，则有，所以切线方程为：

因为切线过，所以将代入直线方程可得：

,

所以问题等价于方程，令,

即直线与有三个不同交点.

由，令解得,

所以在单调递减，在单调递增.的极大值为，极小值为,所以若有三个交点，则,

所以当时，过点存在条直线与曲线相切 .