Question

已知函数f（x）=|cosx|-kx在（0，+∞）恰有两个不同的零点α，β（α＜β），则下列结论正确的是（　　）

• A、cosβ=βsinβ
• B、cosα=αsinα
• C、cosβ=-βsinβ
• D、cosα=-αsinα

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=|cosx|-kx得到g（x）=|cosx|和函数h（x）=kx，再画出两函数的图象，问题得解．

解答： 解：原题等价于方程|cosx|=kx在（0，+∞）恰有两个不同的解，
等价于函数g（x）=|cosx|与函数h（x）=kx的图象在（0，+∞）恰有两个交点（如图），



在(

π

2

，π)内的交点横坐标为β，且此时直线h（x）=kx与曲线g（x）=|cosx|相切，切点为（β，kβ），
又x∈(

π

2

，π)时，g（x）=-cosx，g'（x）=sinx，
故k=g'（β）=sinβ，∴kβ=g（β）=-cosβ．
即cosβ=-βsinβ，
故答案选：C．

点评：考查函数零点，导数的应用，解题时可结合图形，难度适中．