Question

如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件

|MP|

|MA|

=

|NQ|

|NA|

=1，则|AM|+|AN|的值为（　　）

• A、22
• B、20
• C、18
• D、16

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,抛物线的定义

专题：计算题,压轴题

分析：先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x-12）²+y²=100，根据条件得出M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案．

解答： 解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，
可得半圆方程为（x-12）²+y²=100
又

|MP|

|MA|

=

|NQ|

|NA|

=1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；
以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，
则有
物线方程为y²=8x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程，
消去y得：x²-16x+44=0
∴x₁+x₂=16，
|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x₁+x₂+4=20．
故选：B．

点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．