Question

【题目】已知函数 ．
（I）如果 在 处取得极值，求 的值．
（II）求函数 的单调区间．
（III）当 时，过点 存在函数曲线 的切线，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为 ．

∵ ，

∴ ，

∵函数 在 处取得极值，

∴ ，解得

当 时， ，

∴当 时， 单调递增；

当 时， 单调递减，

∴函数 在 处取得极小值，符合题意．

∴

（Ⅱ）因为 ．

①当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，

②当 时，令 ，得 ，

当 时， ， 单调递减；

当 时， ， 单调递增。

综上，当 时， 的单调减区间为 ；

当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 。

（III）当 时， ，

设切点坐标为 ，则 .

又 ，

所以切线方程为 ，

将 代入上式得 ．

令 ，所以 ．

当 时，解得 ．

所以当 时， ，函数 单调递增；

当 时， ，函数 单调递减．

所以当 时，函数 有极大值，也为最大值，且 ，无最小值．

所以当 时，存在切线．

故 的取值范围为

【解析】(1)根据题意先求出原函数的导数再利用导数和极值的关系即可求出k的值。(2)首先求导再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间。(3)根据题意求出切点坐标再利用导数的几何意义以及导数和最值得关系即可求出。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．