【题目】以下五个关于圆锥曲线的命题中:
①平面内与定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之差等于4的点的轨迹为;
②点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A(3,6),则
的最小值是6;
③平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆;
④若过点C(1,1)的直线交椭圆
于不同的两点A,B,且C是AB的中点,则直线
的方程是
.
⑤已知P为抛物线上一个动点,Q为圆
上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是
其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)
【答案】②④⑤
【解析】
由双曲线的定理可判定①;由抛物线的定义和三点共线取得最小值,可判定②;由时为两个定点连线的垂直平分线,可判定③;由点差法和直线的斜率公式,中点坐标公式判定④;由抛物线的定义和三点共线取得最小值,可判定⑤,得到答案.
由题意,①中,平面内与定点和
的距离之差等于4,根据双曲线的定义可得轨迹为双曲线的右支,且
,即方程为
,所以是错误的;
②中,点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影为M点,且,由于点A在抛物线开口之外,抛物线的焦点F坐标为
,则
,
由点A、P、F三点共线可得取得最小值
,所以是正确的;
③中,平面内到两定点距离之比等于的点的轨迹不一定是圆,若
,此时为两个定点的垂直平分线,所以是错误的;
④中,若过点的直线
角椭圆
于不同的两点A、B,且C是AB的中点,可得C在椭圆的内部,设
,可得
,两式相减可得
,由于
,
所以,则直线的方程为
,所以是正确的;
⑤已知P为抛物线上一动点,Q为圆上的一个动点,由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离,
又由的最小值即为
到圆心
的距离减半径1,即有最小值为
,
则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为,所以是正确的,
所以正确命题的序号为②④⑤.
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【题目】在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中,教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样,随机抽查了100人,将调查情况进行整理后制成下表:
学校 | ||||
抽查人数 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“创城”活动中参与的人数 | 40 | 10 | 9 | 15 |
(注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.
(1)若该区共2000名高中学生,估计学校参与“创城”活动的人数;
(2)在随机抽查的100名高中学生中,随机抽取1名学生,求恰好该生没有参与“创城”活动的概率;
(3)在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人,求恰好
两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少?
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【题目】设正项数列的前
项和为
,且满足:
,
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若正项等比数列满足
,
,且
,数列
的前
项和为
,若对任意
,均有
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】某房地产开发商投资81万元建一座写字楼,第一年装修维护费为1万元,以后每年增加2万元,把写字楼出租,每年收入租金30万元.
(1)若扣除投资和各种装修维护费,则从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①纯利润总和最大时,以10万元出售该楼;②年平均利润最大时以46万元出售该楼,问哪种方案更优?
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【题目】已知直线:
和二次函数
,若直线
与二次函数
的图象交于
,
两点.
(1)求直线在
轴上的截距
;
(2)若点的坐标为
,求
点的坐标;
(3)当时,是否存在直线
与圆
:
相切?若存在,求线段
的长;若不存在,说明理由.
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【题目】关于函数有如下命题:
①; ②函数的图象关于原点中心对称;
③函数的定义域与值域相同; ④函数的图象必经过第二、四象限.
其中正确命题的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
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